18.1平行四邊形18.1.1平行四邊形的性質第一課時第二課時人教版數學八年級下冊平行四邊形邊、角的性質第一課時返回【觀察】上面圖形給我們留下什么圖形的形象？1.理解并掌握平行四邊形的概念及掌握平行四邊形的定義和對邊相等、對角相等的兩條性質.2.能夠靈活運用平行四邊形的性質解決問題.素養目標3.經歷“實驗猜想驗證證明”的過程發展學生的思維水平.下列常見的四邊形它們的邊之間有什么關系呢？平行四邊形的定義兩組對邊都不平行一組對邊平行，一組對邊不平行兩組對邊分別平行你們還記得我們以前對平行四邊形的定義嗎？兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.讀作：平行四邊形ABCD記作：ABCDABCDADBC四邊形ABCD是平行四邊形四邊形ABCD是平行四邊形ABCDADBC兩組對邊分別平行四邊形平行四邊形注：圖形中字母的標識順序應為順時針方向或逆時針方向。例1如圖是某區部分街道示意圖，其中BCADEG，ABFHDC圖中的平行四邊形共有_____個.并把它們表示出來.9利用平行四邊形的定義判斷平行四邊形解：DCFHAB，DAEGCB，根據平行四邊形的定義可以判定圖中共有9個平行四邊形，即AEGDABHFAEOFGOFDBEOHCHFDBEGCCHFDABCD.提示：用定義判定平行四邊形，即看四邊形兩組對邊是否分別平行.1.你能從以下圖形中找出平行四邊形嗎？(2)(3)(1)(4)(5)BADc方法一觀察、度量平行四邊形除兩組對邊分別平行外你還能得到對邊有什么關系用什么方法得到這個關系平行四邊形邊的特征D方法二剪開、疊合C已知:四邊形ABCD是平行四邊形求證:AD=BCAB=CD已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，求證:AB=CDAD=BC證明：連接AC，ABCD中ABCD，ADBC13，24又ACCAABCCDA（ASA）ABCD，CBAD方法點撥：作對角線是解決四邊形問題常用的輔助線，通過作對角線，可以把未知問題轉化為已知的關于三角形的問題ADCB1423幾何語言：平行四邊形的兩組對邊分別相等.四邊形ABCD是平行四邊形ABCD，ADBC（平行四邊形的對邊相等）或平行四邊形的性質證明：四邊形ABCD是平行四邊形，BAE=DCF.ABECDF.AB=CD，ABCD又AE=CF，BE=DF.利用平行四邊形邊的性質求證線段的關系2.如圖小明用一根36m長的繩子圍成了一個平行四邊形的場地，其中一條邊AB長為8m，其他三條邊各長多少解：四邊形ABCD是平行四邊形AB=CDAD=BCAB=8mCD=8m又AB+BC+CD+AD=36mAD=BC=10m8cmABCD測得A=C，B=D.請用量角器等工具度量你手中平行四邊形的四個角，并記錄下數據，你能發現A與C，B與D之間的數量關系嗎猜想:平行四邊形的兩組對角有什么數量關系？兩組對角分別相等.怎樣證明這個猜想呢？平行四邊形角的特征證明：如圖，連接AC.四邊形ABCD是平行四邊形ADBC，ABCD1=2，3=4.又AC是ABC和CDA的公共邊，ABCCDAABC=ADC.BAD=1+4，BCD=2+3，BAD=BCD.1432已知：四邊形ABCD是平行四邊形.求證:BAD=BCDABC=ADC.【思考】不添加輔助線，你能否直接運用平行四邊形的定義，證明其對角相等？證明：四邊形ABCD是平行四邊形ADBC，ABCDA+B=180，A+D=180，B=D.同理可得A=C.幾何語言：四邊形ABCD是平行四邊形或A=CB=D（平行四邊形的對角相等）A=CB=D（平行四邊形的對角相等）平行四邊形的兩組對角分別相等.平行四邊形的性質解:A=C=52（平行四邊形的對角相等）又ADBC（平行四邊形的對邊平行）A+B=180C+D=180（兩直線平行，同旁內角互補）B=D=180A=18052=128利用平行四邊形角的性質求證角的關系10080解:B=180A=180100=80又ADBC(平行四邊形的對邊平行)四邊形ABCD是平行四邊形A=C=100（平行四邊形的對角相等）且A+C=200證明：四邊形ABCD是平行四邊形，A=C，AD=CB.又AED=CFB=90，ADECBF（AAS）AE=CF.【思考】在上述證明中還能得出什么結論？DE=BF平行線間的距離CBFEAD若mn，作ABCDEF，分別交m于A、C、E，交n于B、D、F.由平行四邊形的性質得AB=CD=EF.兩條平行線之間的平行線段相等.mn由平行四邊形的定義易知四邊形ABDC，CDFE均為平行四邊形.兩條平行線間的距離相等.若mn，AB、CD、EF垂直于n，交n于B、D、F，交m于A、C、E.BFEAnmCD同前面易得AB=CD=EF兩條平行線間的距離：兩條平行線中，一條直線上任意一點到另一條直線的距離4.如圖，ABCD，BCAB，若AB=4cm，SABC=12cm2，求ABD中AB邊上的高解：SABC=ABBC=4BC=12cm2，BC=6cm.ABCD，點D到AB邊的距離等于BC的長度，ABD中AB邊上的高為6cm1.（2018黔南州）如圖在ABCD中，已知AC=4cm，若ACD的周長為13cm，則ABCD的周長為（）A26cmB24cmC2018cm鞏固練習D2.（2019福建）在平面直角坐標系xOy中，OABC的三個頂點O（0，0）、A（3，0）、B（4，2），則其第四個頂點是__________（1，2）D1.在ABCD中，A：B：C：D的值可能是(）A1：2：3：4B1：2：2：1C1：1：2：2D2：1：2：1ADBCD3.在ABCD中A=3B求C和D的度數.解:在ABCD中ADBCA+B=180又已知A=3B則3B+B=180解得：B=45A=345=135所以C=A=135D=B=454.如圖小明用一根48m長的繩子圍成了一個平行四邊形的場地，其中一條邊AB長為10m，其他三條邊各長多少解：四邊形ABCD是平行四邊形AB=CDAD=BCAB=10mCD=10m又AB+BC+CD+AD=48AD=BC=14m10m有一塊形狀如圖所示的玻璃，不小心把EDF部分打碎了，現在只測得AE=60cm，BC=80cm，B=60且AEBC、ABCF你能根據測得的數據計算出DE的長度和D的度數嗎？解：AEBC，ABCF，四邊形ABCD是平行四邊形.D=B=60，AD=BC=80cm.ED=AD-AE=20cm.答：DE的長度是20cmD的度數是60.證明：四邊形BEFM是平行四邊形BM=EFABEF.AD平分BACBAD=CAD.ABEFBAD=AEFCAD=AEFAF=EFAF=BM.如圖，在ABC中AD平分BAC點MEF分別ABADAC上的點四邊形BEFM是平行四邊形.求證：AF=BM.平行四邊形定義兩組對邊分別平行的四邊形性質兩組對邊分別平行，相等兩條平行線間的距離相等兩條平行線間的平行線段也相等兩組對角分別相等，鄰角互補平行四邊形的對角線的性質第二課時返回一位飽經蒼桑的老人，經過一輩子的辛勤勞動，到晚年的時候，終于擁有了一塊平行四邊形的土地，由于年邁體弱，他決定把這塊土地分給他的四個孩子，他是這樣分的：當四個孩子看到時，爭論不休，都認為自己的地少，同學們，你認為老人這樣分合理嗎？為什么？老大老二老三老四2.能綜合運用平行四邊形的性質解決平行四邊形的有關計算問題和簡單的證明題.1.掌握平行四邊形對角線互相平分的性質.素養目標猜想：平行四邊形的對角線互相平分想一想，平行四邊形除了邊、角這兩個要素的性質外，對角線有什么性質？平行四邊形對角線的性質如圖，在ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，OA與OC，OB與OD有什么關系？求證：OA=OC，OB=OD證明：四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD，ABCD；1=2，3=4；CODAOB；OA=OC，OB=OD證明過程符號語言：平行四邊形的對角線互相平分.四邊形ABCD是平行四邊形OAOC，OBOD（平行四邊形的對角線互相平分）或或AC=2AO=2CO，BD=2BO=2DO.平行四邊形的性質解：四邊形ABCD是平行四邊形，OBOD，ABCD，ADBC.AOB的周長比DOA的周長長5cm，ABAD5cm.又ABCD的周長為60cm，ABAD30cm，則ABCD17.5cmADBC12.5cm.利用平行四邊形對角線的性質求線段的值提示：平行四邊形被對角線分成四個小三角形，相鄰兩個三角形的周長之差等于鄰邊邊長之差.1.如圖，ABCD的兩條對角線相交于點O已知AB=8cmBC=6cmAOB的周長是18cm，那么AOD的周長是.16cm例2如圖，ABCD的對角線AC，BD相交于點O，EF過點O且與AB，CD分別相交于點E，F.求證：OE=OF.證明：四邊形ABCD是平行四邊形，ABCD，OA=OC(平行四邊形的性質)EAO=FCO（兩直線平行，內錯角相等）在AOE和COF中AOE=COF對頂角相等OA=OCEAO=FCOAOECOF(ASA)OE=OF（全等三角形的對應邊相等）請判斷下列圖中，OE=OF還成立嗎？同例2易證明OE=OF還成立.歸納總結：過平行四邊形的對角線交點作直線與平行四邊形的一組對邊或對邊的延長線相交，得到線段總相等.2.如圖平行四邊形ABCD中，AC、BD交于O點，點E、F分別是AO、CO的中點，試判斷線段BE、DF的數量關系并證明你的結論解：BEDF，BEDF.理由如下：四邊形ABCD是平行四邊形，OAOC，OBOD點E、F分別是AO、CO的中點OEOF.在OFD和OEB中，OEOF，DOFBOE，ODOB，OFDOEB，BEDF.DFOBEO.BEDF.解：四邊形ABCD是平行四邊形，根據勾股定理得BC=AD=8cmCD=AB=10cm.ABC是直角三角形.又OA=OC平行四邊形的面積ACBC3.已知:ABCD的對角線AC、BD相交于點O，AC=16cm，BD=12cm，BC=10cm，則ABCD的周長是__________，ABCD的面積是__________.40cm96cm216121010681010BFE平行四邊形中有關圖形的面積解：相等.理由如下：四邊形ABCD是平行四邊形，OAOC，OBOD.ADO與ODC等底同高，SADO=SODC.同理可得SADO=SODC=SBCO=SAOB.總結：平行四邊形的對角線分平行四邊形為四個面積相等的三角形，且都等于平行四邊形面積的四分之一.相對的兩個三角形全等.方案一方案二方案四方案五方案三方案六總結：過對角線交點的任一條直線都將平行四邊形分成面積相等的兩部分例3如圖，ACBD交于點O，EF過點O平行四邊形ABCD被EF所分的兩個四邊形面積相等嗎？MN解：設直線EF交ADBC于點NM.ADBCNAO=MCOANO=CMO.又AO=CONAOMCO，S四邊形ANMB=SNAO+SAOB+SMOB=SMCO+SAOB+SMOB=SAOB+SCOB=.S四邊形ANMB=S四邊形CMND即平行四邊形ABCD被EF所分的兩個四邊形面積相等.利用平行四邊形的有關圖形的面積證明相等C如圖，ACBD交于點O，EF過點O平行四邊形ABCD被EF所分的兩個四邊形面積相等嗎？同例3易求得平行四邊形ABCD被EF所分的兩個四邊形面積相等.總結：過對角線交點的任一條直線都將平行四邊形分成面積相等的兩部分.4.如圖，歡歡看到平行四邊形的草地中間有一水井，為了澆水的方便，歡歡建議我們經過水井修小路，一樣可以把草地分成面積相等的兩部分，同學們，你知道聰明的歡歡是怎么分的嗎？O解：如圖所示（2019柳州）如圖，在ABCD中，全等三角形的對數共有（）A2對B3對C4對D5對鞏固練習C1.平行四邊形的兩條對角線把它分成的四個三角形（）A.都是等腰三角形B.都是全等三角形C.都是直角三角形D.是面積相等的三角形DA1AD94.把一個平行四邊形分成3個三角形，已知兩個陰影三角形的面積分別是9cm2和12cm2，求平行四邊形的面積解：（9+12）2=212=42（cm2）答：平行四邊形的面積是42cm2如圖，平行四邊形ABCD中，DEAB于E，DFBC于F，若平行四邊形ABCD的周長為48，DE=5，DF=10，求平行四邊形ABCD的面積.解：設AB=x，則BC=24-x.根據平行四邊形的面積公式可得5x=10(24-x)，解得x=16則平行四邊形ABCD的面積為516=80如圖，平行四邊形ABCD的對角線相交于點O，且ABAD，過O作OEBD，交BC于點E.若CDE的周長為10，則平行四邊形ABCD的周長是多少？解：四邊形ABCD是平行四邊形，AB=CD，BC=AD，OB=OD.OEBD，BE=DE.CDE的周長為10，DE+CE+CD=BE+CE+CD=BC+CD=10，平行四邊形ABCD的周長為2(BC+CD)=20平行四邊形對角線的性質平行四邊形對角線互相平分兩條對角線分平行四邊形為面積相等的四個三角形過平行四邊形的對角線交點作直線與平行四邊形的一組對邊或對邊的延長線相交，得到線段總相等.過對角線交點的任一條直線都將平行四邊形分成面積相等的兩部分.且與對角線圍成的三角形相對的兩個全等.課后作業作業內容教材作業從課后習題中選取自主安排配套練習冊練習