6整理和復習一、數的認識1.數的分類數2.數的意義(1)整數:像-3、-2、-1、0、1、2、3這樣的數統稱為整數。整數的個數是無限的,沒有最小的整數,也沒有最大的整數。(2)自然數:用來表示物體個數的1、2、3、4叫做自然數。一個物體也沒有,用0表示,0也是自然數。自然數的個數是無限的,最小的自然數是0,沒有最大的自然數。自然數是整數的一部分,正整數和0都是自然數。(3)分數:把單位“1”平均分成若干份,表示這樣的一份或者幾份的數叫做分數,表示這樣一份的數就是這個分數的分數單位。一個分數的分母是幾,它的分數單位就是幾分之一,分子是幾,它就有幾個這樣的分數單位。(4)百分數:表示一個數是另一個數百分之幾的數叫做百分數,也叫百分率或百分比。百分數的計數單位是1%。百分數是一種特殊的分數,通常不寫成分數形式,而是在原來的分子后面加上百分號“%”來表示。(5)分數和百分數的關系:分數既可以表示一個數,也可以表示兩個數的比;而百分數只表示一個數占另一個數的百分比,不能用來表示具體的數。分數后面可以帶單位名稱,而百分數后面不能帶單位名稱。(6)小數:像0.1、0.2、3.14、10.007這樣用來表示十分之幾、百分之幾、千分之幾的數叫做小數。3.計數單位和數位(1)數位順序表整數部分小數部分億級萬級個級(2)計數單位:個(一)、十、百以及十分之一、百分之一都是計數單位。(3)數位:各計數單位所占的位置叫做數位。(4)數級:按照我國的計數習慣,整數部分從個位向左,每四個數位是一級,依次是個級、萬級、億級4.數的讀寫讀法寫法整數從高位讀起,億級和萬級的數都按照個級的數的讀法來讀,讀完億級要在后面加上“億”字,讀完萬級要在后面加上“萬”字;每一級中間有一個或連續(xù)的幾個0都只讀一個零,每一級末尾的0都不讀從高位寫起,每一級都按照個位的寫法來寫;哪一位上一個計數單位也沒有就寫0分數整數部分按照整數的讀法來讀,讀完后加上個“又”字;分數部分先讀分母,加上“分之”,后面再讀分子整數部分按照整數的寫法來寫,“又”字不用寫,分數部分先讀的是分母,寫在下面,后讀的是分子,寫在上面,中間用分數線隔開百分數先讀“百分之”,再讀百分號前面的數分子是幾就寫幾,然后在后面寫上百分號“%”小數整數部分按照整數的讀法來讀,小數點讀作“點”,小數部分從左向右是幾就讀幾整數部分按照整數的寫法來寫,“點”寫作“.”,小數部分從左向右讀幾就寫幾5.大數的改寫(1)把多位數改寫成用“萬”或“億”作單位的數,在萬位或億位的后面點上小數點,省略小數部分末尾的0,并在后面寫上“萬”或“億”字,中間用“=”連接。(2)省略尾數改寫成近似數:用“四舍五入”法省略萬位或億位后面的尾數,并在這個數的后面寫“萬”或“億”字,中間用“”連接。6.小數的近似數要求把小數保留到哪一位,就把哪一位后面的數用“四舍五入”法省略,中間用“”連接。7.假分數與帶分數、整數之間的互化(1)假分數化成整數或帶分數:用假分數的分子除以分母,如果能夠整除,所得的商就是這個假分數化成的整數;如果不能整除,商的整數部分就是帶分數的整數部分,余數就是分數部分的分子,原分母不變。(2)整數化成假分數:用指定的分母作分母,用整數乘分母的積作分子。(3)帶分數化成假分數:用整數部分乘分母的積加上分數部分的分子作分子,原分母不變。8.分數、小數、百分數之間的互化小數化成分數:先改寫成分母是10、100、1000的分數,再約分;分數化成小數,用分子除以分母;小數化成百分數,把小數的小數點向右移動兩位,并在后面加上百分號;百分數化成小數,把百分號去掉,并把小數點向左移動兩位;分數化成百分數,先把分數改寫成小數,再把小數改寫成百分數;百分數化成分數,先把百分數改寫成分母是100的分數,再化簡。9.判斷一個分數能否化成有限小數的方法先看這個分數是不是最簡分數,不是最簡分數的要化成最簡分數;再看最簡分數的分母,如果分母中只有質因數2或5,這個分數就能化成有限小數;如果分母中含有2和5以外的其他質因數,就不能化成有限小數。10.數的大小比較(1)整數的大小比較:先看位數,位數多的數大;位數相同,從高位比起,相同數位上的數大的那個數就大。(2)分數的大小比較:先比較整數部分,整數部分大的那個數就大;整數部分相同比較十分位,十分位上數大的那個數就大;十分位相同,比較百分位,百分位上數大的那個數就大;百分位相同,比較千分位(3)真分數、假分數和整數部分相同的帶分數的大小比較:分母相同,分子大的分數大;分子相同,分母小的分數大;分子分母都不同,通分化成同分母或同分子分數后再比較;假分數大于真分數。整數部分不同的帶分數,整數部分大的分數大。11.用直線上的點表示數(數軸)(1)小學階段學過的數都可以用直線上的點來表示。例如:(2)在這條直線上,0是正數和負數的分界點,箭頭方向表示正數的方向,每一大格的長度都相等。12.因數與倍數如果ab=c(a、b、c都是整數,且b0),就說a是b和c的倍數,b和c是a的因數。如果一個數既是a的因數,又是b的因數,那它就是a和b的公因數。如果一個數既是a的倍數,又是b的倍數,那它就是a和b的公倍數。13.奇數與偶數整數中,能被2整除的數是偶數,不能被2整除的數是奇數。14.質數與合數質數又稱素數,指在大于1的自然數中,除了1和它本身外,沒有其他因數的數。合數是指自然數中除了1和它本身之外,還有其他因數的數。15.2、3、5的倍數的特征(1)2的倍數的特征:個位上的數是0、2、4、6、8。(2)3的倍數的特征:各個數位上的數字的和是3的倍數。(3)5的倍數的特征:個位上的數是0或5。16.分數的基本性質:分數的分子和分母同時乘或除以相同的數(0除外),分數的大小不變。利用分數的基本性質可以進行分數的通分和化簡。17.小數的性質:在小數的末尾添上0或者去掉0,小數的大小不變。利用小數的性質可以進行小數的化簡和改寫。18.小數點位置移動引起小數的大小變化小數點向右移動一位,小數就擴大到原來的10倍;小數點向右移動兩位,小數就擴大到原來的100倍;小數點向右移動三位,小數就擴大到原來的1000倍小數點向左移動一位,小數就縮小到原來的110;小數點向左移動兩位,小數就縮小到原來的1100;小數點向左移動三位,小數就縮小到原來的11000。二、數的運算1.四則運算加法:把兩個數合成一個數的運算。減法:已知兩個數的和與其中的一個加數,求另一個加數的運算。乘法:求幾個相同加數的和的簡便運算。除法:已知兩個乘數的積與其中一個乘數,求另一個乘數的運算。2.四則運算中各部分之間的關系加法:加數+加數=和;一個加數=和-另一個加數。減法:被減數-減數=差;被減數=差+減數;減數=被減數-差。乘法:乘數乘數=積;一個乘數=積另一個乘數。除法:被除數除數=商;被除數=商除數;除數=被除數商。3.四則混合運算的順序沒有括號的算式,同級運算從左向右算;含兩級運算的,先算乘除,后算加減;有括號的算式,先算小括號里面的,再算中括號里面的,最后算括號外面的。4.運算定律用字母表示名稱加法交換律a+b=b+a加法結合律(a+b)+c=a+(b+c)乘法交換律ab=ba乘法結合律(ab)c=a(bc)乘法分配律(a+b)c=ac+bca(b+c)=ab+ac5.運算性質(1)減法的運算性質:a-b-c=a-(b+c)a-b+c=a-(b-c)(2)除法的運算性質:abc=a(bc)abc=a(bc)(a+b)c=ac+bc(a-b)c=ac-bc6.典型的數學問題(1)相遇問題:路程(甲速+乙速)=相遇時間(甲速+乙速)相遇時間=路程(2)追擊問題:(假設甲速大于乙速)甲與乙的距離(甲速-乙速)=追上時間(甲速-乙速)追上時間=甲與乙的距離(3)工程問題:工作總量工作效率=工作時間工作總量工作時間=工作效率工作效率工作時間=工作總量(4)和差問題:(和+差)2=大數大數-差=小數(和-差)2=小數小數+差=大數和-小數=大數(5)雞兔同籠問題:假設全是雞,(總腿數-總頭數2)(4-2)=兔的只數;假設全是兔,(總頭數4-總腿數)(4-2)=雞的只數。三、式與方程1.用字母或含有字母的式子可以簡明地表示數,也可以表示數量關系,運算定律和計算公式等。2.等式:表示相等關系的式子叫做等式。3.方程:含有未知數的等式叫做方程。使方程左右兩邊相等的未知數的值,叫做方程的解。求方程的解的過程叫做解方程。4.等式的性質:等式的兩邊同時加上(或減去)同一個數,等式仍然成立;等式的兩邊同時乘(或除以)同一個數(0除外),等式仍然成立。5.列方程解應用題的一般步驟:理解題意,找出題中的等量關系;把未知量設成未知數,根據等量關系列出方程;根據等式的性質求出未知數的值;檢驗,并寫出答語。四、比和比例1.比和比例的區(qū)別比比例意義兩個數相除又叫做兩個數的比表示兩個比相等的式子各部分名稱基本性質比的前項和后項同時乘或除以相同的數(0除外),比值不變在比例里,兩個外項的積等于兩個內項的積2.比與分數、除法的聯系各部分名稱例子分數分子分數線分母分數值58除法被除數除號除數商58=58比前項比號后項比值58=58五、圖形的認識與測量1.圖形的分類圖形2.直線、射線、線段把線段的兩端無限延伸,就得到一條直線。直線沒有端點,可以向兩端無限延伸,不能度量長度。把線段的一端無限延伸,就得到一條射線。射線只有一個端點,可以向另一端無限延伸,不能度量長度。直線上兩點間的一段叫做線段。線段有兩個端點,可以度量長度。3.同一平面內兩條直線的位置關系:相交和平行。4.垂直和垂線:如果兩條直線相交成直角,就說這兩條直線互相垂直,其中一條直線叫做另一條直線的垂線,它們的交點叫做垂足。5.平行線:在同一平面內不相交的兩條直線叫做平行線。平行線之間的距離處處相等。6.角的分類銳角直角鈍角平角周角小于9090大于90小于1801803607.三角形的特征三角形有3個頂點、3條邊、3個角。三角形的內角和是180。在一個三角形中,任意兩邊的和都大于第三邊,任意兩邊的差都小于第三邊。三角形具有穩(wěn)定性。8.四邊形的特征邊角長方形兩組對邊分別平行且相等四個角都是直角正方形兩組對邊分別平行,四條邊都相等四個角都是直角平行四邊形兩組對邊分別平行且相等對角相等梯形只有一組對邊平行9.四邊形的分類10.平面圖形的周長與面積文字公式字母公式長方形長方形周長=(長+寬)2長方形面積=長寬C=2(a+b)S=ab正方形正方形周長=邊長4正方形面積=邊長邊長C=4aS=a2平行四邊形平行四邊形面積=底高S=ah三角形三角形面積=底高2S=12ah梯形梯形面積=(上底+下底)高2S=12(a+b)h圓圓的周長=圓周率直徑圓的周長=圓周率半徑2圓的面積=圓周率半徑的平方C=dC=2rS=r211.長方體和正方體的特征相同點不同點面棱長長方體都有6個面、8個頂點、12條棱相對的面的形狀、大小都相等相對的4條棱互相平行并且長度相等正方體6個面都是完全相同的正方形12條棱長度相等12.立體圖形的表面積與體積表面積計算公式體積計算公式S長方體=2(ab+ah+bh)V長方體=abhV=ShS正方體=6a2V正方體=a3S圓柱=2r2+2rhV圓柱=r2hV圓錐=13r2hV圓錐=13Sh13.圓柱與圓錐的關系:(詳見七彩學習手冊第4頁)14.常見的計量單位與進率(1)長度單位:1厘米=10毫米1分米=10厘米1米=10分米=100厘米1千米=1000米(2)面積單位:1平方厘米=100平方毫米1平方分米=100平方厘米1平方米=100平方分米=10000平方厘米1公頃=10000平方米1平方千米=100公頃=1000000平方米(3)體積單位:1立方厘米=1000立方毫米1立方分米=1000立方厘米1立方米=1000立方分米=1000000立方厘米(4)容積單位:毫升(mL)升(L)立方米(m3)1升=1立方分米1毫升=1立方厘米1升=1000毫升1立方米=1000升15.單位名數的互化方法(1)低級單位名數化為高級單位名數除以進率;高級單位名數化為低級單位名數乘進率。(2)復名數改寫為高級單位的單名數,用復名數的低級單位除以進率,再加上復名數的高級單位。(3)復名數改寫為低級單位的單名數,用復名數的高級單位乘進率,再加上復名數的低級單位。(4)低級單位單名數改寫為復名數,用單名數除以進率的商的整數部分做復名數的高級單位,余數做復名數的低級單位。(5)高級單位單名數改寫為復名數,整數部分做復名數的高級單位,小數部分乘進率做復名數的低級單位。六、圖形的運動1.平移:物體或圖形在同一平面內沿直線運動,物體或圖形的形狀、大小、方向都不發(fā)生改變,只是位置發(fā)生變化。2.旋轉:物體或圖形繞著一個點或一個軸所發(fā)生的運動,叫做旋轉。旋轉不改變物體的形狀和大小,只改變物體的方向。3.軸對稱:如果一個圖形沿著一條直線對折,兩側的圖形能夠完全重合,這個圖形就叫做軸對稱圖形,折痕所在的直線叫做對稱軸。4.圖形的放大和縮小:把一個圖形的各邊按一定比例進行放大或縮小,從而得到該圖形的放大圖或縮小圖。七、圖形與位置1.平面圖上通常都是按“上北、下南、左西、右東”來確定方位的,還有東南、東北、西南、西北四個方向。2.確定物體方向的兩個要素:方向和距離。3.用數對表示物體的位置,數對的第一個數表示在第幾列,第二個數表示在第幾行,兩個數之間要用逗號隔開,并用括號把這個數對括起來。八、統計與概率1.統計表的種類(1)單式統計表:只有一組統計項目的統計表。(2)復式統計表:有兩組或兩組以上統計項目的統計表。2.統計圖的種類與特點統計圖種類表現形式特點條形統計圖用條形的長短表示數量的多少直觀表示數量的多少和不同數據的差異折線統計圖用折線上的點表示數量的增減變化不僅能清楚地表示數量的多少,還能直觀地反映數量的增減變化趨勢扇形統計圖用整個圓和圓內的扇形表示各部分數量占總數的百分比直觀表示各部分數量與總數量之間的關系3.平均數:平均數是表示一組數據平均趨勢的數,它反映一組數據的平均水平,但它容易受極端數據的影響。4.可能性:生活中,有些事件的發(fā)生是不確定的,一般用“可能發(fā)生”來描述;有些事件的發(fā)生是確定的,一般用“一定”或“不可能”來描述。九、數學思考1.如果有n個點,每兩個點連一條線段,一共能連出1+2+3+(n-1)條線段。2.如果a=b,b=c,那么a=c,這就是等量代換。十、綜合與實踐1.綠色出行:綠色出行是指采取相對環(huán)保的出行方式,即節(jié)約能源、提高能效、減少污染、有益健康、兼顧效率的出行方式,如乘坐公共汽車、地鐵等公共交通工具,騎自行車等。通過碳減排實現資源的可持續(xù)利用,促進環(huán)境保護,減少環(huán)境污染。2.制定旅游計劃的內容確定景點,選好路線;具體、合理地做好時間安排;安排住宿、交通工具;做好旅游費用預算,旅游費用包括交通費、食宿費、景點門票費、購物費用等。3.國家郵政局關于信函郵資的收取標準業(yè)務種類計費單位資費標準/元本埠資費外埠資費信函首重100g內,每重20g(不足20g按20g計算)0.801.20續(xù)重1012000g每重100g(不足100g按100g計算)1.202.004.郵資的計算方法本埠外埠不足20g0.801.201-100g信函質量除以20的商(進一法取整數)0.8信函質量除以20的商(進一法取整數)1.20100g以上100200.8+(信函質量-100)除以20的商(進一法取整數)1.20100200.8+(信函質量-100)除以20的商(進一法取整數)2.005.在“有趣的平衡”中,要使竹竿保持平衡,必須使“左邊的刻度數棋子數=右邊的刻度數棋子數”。6.當一邊的刻度數和棋子數保持不變時,另一邊的刻度數和棋子數成反比例關系。提示:按不同的標準劃分,數的分類也會不同。例如:按正、負數分,數分為正數、0、負數;按整數與分數分,數分為整數、分數(小數)等。提示:0表示一個物體也沒有;0是正、負數的分界點;0表示起點(如0刻度);計數時,0起占位作用。注意:帶分數只有化成假分數后,它的分子才能表示這個帶分數的分數單位的個數。例如:59100寫成百分數是59%,59100可以表示59100,也可以表示一個數量,如59100米,59100噸等,而59%只表示一個數和另一個數的關系,后面不能帶單位名稱。補充:9再多1,就要向前一位進一,記作10,像這樣的計數方法叫做“十進制計數法”。注意:讀數和寫數都從高位起,讀數要寫成文字形式,寫數要寫成阿拉伯數字,例如,3 1403 7000讀作:三億一千四百零三萬七千;一千七百零七萬五千四百 寫作:1707 5400;6057讀作:六十又七分之五;三又十二分之七寫作:3712;35%讀作百分之三十五;百分之十五點七寫作:15.7%;18.003讀作:十八點零零三;零點六一八寫作:0.618。提示:在讀、寫、改寫數時,原數如果有單位名稱,讀數、寫數、改寫的結果也要加上相應的單位名稱。易錯點:要區(qū)分“改寫”和“省略”的含義。改寫是求準確值,“省略”是用“四舍五入”法求近似數。例如:把123和85改寫成整數或帶分數。123=4123=485=135例如:5=544=204623=63+23=203例如:0.52=52100=132538=38=0.3750.32=32%3.5%=0.03534=0.75=75%62.5%=62.5100=58提示:判斷分母是否只含有質因數2或5,可以參照“2和5的倍數的特征”進行分析。例如:785685669336920例如:62.5752.754.2564.252例如:471723258534314123提示:比較小數、分數和百分數的大小時,通常把分數和百分數化成小數進行比較,最后的結果一定要用原數。提示:用數軸上的點可以比較數的大小。數軸上表示數的點的位置越往右,表示的數越大,點的位置越往左,表示的數越小。注意:一個數的因數的個數是有限的,最小的因數是1,最大的因數是它本身。一個數的倍數的個數是無限的,最小的倍數是它本身,沒有最大的倍數。注意:一個自然數不是奇數,就是偶數。重點:1既不是質數,也不是合數。最小的質數是2,它是唯一的偶質數;最小的合數是4。提示:在小數的末尾添上0或者去掉0,小數的大小不變,計數單位卻不同。例如:3.2的計數單位是0.1,3.200的計數單位是0.001。例如:32.1的小數點向右移動一位是321,是原數的10倍;32.1的小數點向左移動一位是3.21,是原數的110。提示:加法和減法互為逆運算;乘法和除法互為逆運算。提示:應用四則運算中各部分之間的關系可以對四則運算進行驗算。提示:加減法是同一級運算,稱為低級運算;乘除法是同一級運算,稱為中級運算。提示:在運算中靈活地運用運算定律和減法、除法的運算性質,可以使運算更加簡便。提示:路程相遇時間-甲速=乙速提示:在“工程問題”中常見“甲、乙合作多長時間能完成工作?”解題的方法是“工作總量(甲的工作效率+乙的工作效率)=工作時間”。提示:雞兔同籠問題也可以用列表法、畫圖法、列方程等方法解答。提示:所有的方程都是等式,但等式不一定是方程。提示:等式的性質是解方程的依據。提示:有時應用題中的問題不能直接用方程解答,需要把一個間接的量設成未知數,求出解后,再進一步解答出應用題的問題。提示:比和比例、比、分數和除法都既有聯系,又有區(qū)別。把握好比和比例的關系,可以提高我們分析問題和解決問題的能力。提示:靈活運用比和比例及比、分數和除法之間的關系,可以將分數應用題轉化為按比分配的應用題或是可以用解比例的方法解答的問題,也可以將按比分配或需要列比例式解答的應用題轉化成分數應用題解答。補充:等腰三角形是有兩條邊相等的三角形。等邊三角形是特殊的等腰三角形,它的三條邊都相等。注意:梯形中還有兩種比較特殊的情況:等腰梯形和直角梯形。等腰梯形是兩個腰相等的梯形;直角梯形是有兩個直角的梯形。注意:射線和線段都是直線的一部分。提示:在同一平面內的兩條直線不是相交就是平行。垂直是相交的特例。注意:1周角=2平角=4直角平角的兩條邊在一條直線上,但平角不是直線,它有頂點,它是一個角。提示:運用三角形三邊之間的關系,可以判斷三條線段或三根小棒能否組成三角形。注意:長方形和正方形是特殊的平行四邊形,正方形是特殊的長方形。提示:我們經常會遇到求不規(guī)則圖形的周長或面積的情況,可以運用轉化和遷移的數學思想,把不規(guī)則圖形轉化成我們學過的圖形,再計算它們的周長或面積。提示:長方體的所有特征,正方體都具備,所不同的是正方體有6個完全相同的面,12條棱長度都相等,正方體是特殊的長方體。注意:體積是指物體所占空間的大小,求物體的體積是從物體外部測量長、寬、高等數據的;容積是指一個容器所能容納的物體的體積,求物體的容積要從物體的內部測量長、寬、高等數據。提示:在比較單位名數的大小時,只有相同的單位才能在一起比較;單位不同時,要化成相同的單位再進行比較。提示:平移只改變物體的位置,旋轉只改變物體的方向。提示:一個圖形的放大圖或縮小圖與原圖形相比較,形狀相同,大小不同。提示:對照數對在方格紙上找物體的位置時,先根據數對的第一個數找到所在的列,再根據數對的第二個數找到這一列的第幾行,行和列的交點就是這個數對所對應的物體的位置。提示:每種統計圖的表現形式不同,特點也不同,應用時要根據數據的特點和需要選擇合適的統計圖。提示:求平均數的方法:一組數據的總和這組數據的個數=這組數據的平均數。提示:判斷每種事件的可能性是否相等,可以確定方案規(guī)則是否公平。提示:對城市的發(fā)展來說,綠色出行可以緩解交通擁堵,降低空氣污染,減少交通事故;對市民來說,它可以減少對汽車的使用和依賴,改善居住環(huán)境,促進身體健康。提示:旅游前應制定切實可行的計劃,對各方面做周密的安排,旅游過程中要按照旅游計劃游覽,也可隨時加以調整。提示:郵票是郵件的發(fā)送者為郵政服務付費的一種證明。郵票分為普通郵票、紀念郵票等。提示:本埠是指本市區(qū),外埠是指外市區(qū)。提示:竹竿的平衡規(guī)律反映的是物理中的“杠桿原理”。生活中的蹺蹺板、起釘錘等都應用了“杠桿原理