3圓柱與圓錐一、圓柱的認識1.生活中有許多物體是圓柱形的,如茶葉桶、蠟燭、罐頭盒等。2.圓柱的特征:圓柱是由3個面圍成的。它的上、下兩個面叫做底面。圓柱周圍的面(上、下底面除外)叫做側面。圓柱的兩個底面之間的距離叫做高,圓柱有無數條高。3.圓柱的上、下底面是完全相同的兩個圓。圓柱的側面是一個曲面,沿高展開后是一個長方形(或正方形),這個長方形(或正方形)的長(或邊長)等于圓柱的底面周長,寬(或邊長)等于圓柱的高。4.把一張長方形的硬紙貼在木棒上,快速轉動木棒,長方形硬紙形成的圖形就是圓柱。二、圓柱的表面積1.圓柱的側面積=底面周長高,用字母表示:S側=Ch。如果已知底面直徑,底面周長的計算公式是C=d,圓柱的側面積公式就是S側=dh;如果已知底面半徑,底面周長的計算公式就是C=2r,圓柱的側面積公式就是S側=2rh。2.圓柱的表面積=側面積+底面積2,用字母表示為S表=Ch+2r2。三、圓柱的體積1.圓柱所占空間的大小,叫做這個圓柱的體積。2.圓柱體積的推導過程:把一個圓柱的底面沿半徑分成若干個相等的扇形,按照等分線沿著圓柱的高把它們切開后,可以拼成一個近似的長方體。分成的扇形越多,拼成的立體圖形就越接近于長方體。拼成的長方體與圓柱形狀不同,體積相等。長方體的底面積等于圓柱的底面積,長方體的高等于圓柱的高。長方體的體積=底面積高,推導出:圓柱的體積=底面積高。3.圓柱的體積公式是V圓柱=Sh,如果知道圓柱的底面半徑r和高h,圓柱的體積公式就是V圓柱=r2h。4.在求不規則的物體的體積或容積時,可以利用轉化的思想,將其轉化成規則的圖形進行計算。四、圓錐的認識1.生活中有很多物體的形狀是圓錐形的,像尖形的帽子、糧囤的頂部等,還有漏斗、跳棋等物體的形狀也接近圓錐形。2.圓錐的特征:圓錐是由一個底面和一個側面圍成的立體圖形。圓錐的底面是一個圓,圓錐的側面是一個曲面。從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。圓錐只有一條高。3.圓錐高的測量方法:把圓錐的底面水平放好;把一塊平板水平地放在圓錐的頂點上面;平板和底面之間的距離就是圓錐的高。4.把一張直角三角形的硬紙貼在木棒上,快速轉動木棒,直角三角形轉動形成的圖形是圓錐,貼在木棒上的直角邊是圓錐的高,另一條直角邊是圓錐的底面半徑。五、圓錐的體積1.圓錐的體積推導過程:準備等底等高的圓柱和圓錐形容器。把空的圓錐形容器里裝滿水或細沙,然后倒入空圓柱形容器里,倒3次正好將空圓柱裝滿。如果把空圓柱形容器裝滿水或細沙,倒入空圓錐形容器中,每次都倒滿,正好也倒了3次。通過實驗可知,等底等高的圓柱和圓錐,圓柱的體積是圓錐體積的3倍,也可以說圓錐的體積是圓柱體積的13。2.圓錐的體積公式:V圓錐=13Sh。已知圓錐的底面半徑和高,可以直接利用公式V圓錐=13r2h來計算體積。提示:如果沿一條斜線將圓柱的側面展開,它的側面會是一個平行四邊形,圓柱的底面周長是平行四邊形的底,圓柱的高是平行四邊形的高。注意:圓柱的側面展開不可能得到梯形。提示:在實際中,不是所有的圓柱形物體都有兩個底面,要具體問題具體分析。例如:求一段排氣筒的表面積就是求圓柱的側面積,求一個水桶的表面積就是求圓柱的側面積和一個底面積的和。提示:把圓柱轉化成長方體來求體積,運用的是轉化的思想方法。要點:圓柱的高不變,底面半徑、直徑或周長擴大到原來的n倍,則體積擴大到原來的n2倍;若底面半徑、直徑、或周長縮小到原來的1n,則體積縮小到原來的1n2。注意:從圓錐的頂點到圓錐底面圓周上的一點連一條直線,沿這條直線把圓錐的側面展開,會得到一個扇形。提示:如果把一個圓錐切成大小、形狀完全相同的兩塊,切面是兩個以底面直徑為底邊,以圓錐的高為高的等腰三角形。圓柱與圓錐的關系:(1)等體積等高時,圓柱底面積是圓錐的13,圓錐底面積是圓柱的3倍;(2)等體積等底時,圓錐高是圓柱的3倍,圓柱高是圓錐的13