鴿巢問題教材第68、第69頁。1. 在了解簡單的“鴿巢問題”的基礎上,使學生會用此原理解決簡單的實際問題。2. 提高學生有根據、有條理地進行思考和推理的能力。3. 通過用“鴿巢問題”解決簡單的實際問題,激發學生的學習興趣,使學生感受數學的魅力。重點:引導學生把具體問題轉化成“鴿巢問題”。難點:找出“鴿巢問題”解決的竅門進行反復推理。鉛筆、筆筒、書等。師:同學們,老師給大家表演一個“魔術”。一副牌,取出大小王,還剩52張牌,請5個同學上來,每人隨意抽一張,我知道至少有2人抽到的是同花色的,相信嗎?試一試。師生共同玩幾次這個“小魔術”,驗證一下。師:想知道這是為什么嗎?通過今天的學習,你就能解釋這個現象了。下面我們就來研究這類問題,我們先從簡單的情況入手研究。【設計意圖:緊緊扣住學生的好奇心,從學生喜歡的撲克牌“小魔術”開始,激活認知熱情。使學生積極投入到對問題的研究中。同時,滲透研究問題的方法和建模的數學思想】1. 講授例1。(1)認識“抽屜原理”。(課件出示例題)把4支鉛筆放進3個筆筒中,那么總有一個筆筒里至少放進2支鉛筆。學生讀一讀上面的例題,想一想并說一說這個例題中說了一件怎樣的事。教師指出:上面這個問題,同學們不難想出其中的道理,但要完全清楚地說明白,就需給出證明。(2)學生分小組活動進行證明。活動要求:學生先獨立思考。把自己的想法和小組內的同學交流。如果需要動手操作,要分工并全面考慮問題。(誰分鉛筆、誰當筆筒即“抽屜”、誰記錄等)在全班交流匯報。(3)匯報。師:哪個小組愿意說說你們是怎樣證明的? 列舉法證明。學生證明后,教師提問:把4支鉛筆放進3個筆筒里,共有幾種不同的放法?(共有4種不同的放法。在這里只考慮存在性問題,即把4支鉛筆不管放進哪個筆筒,都視為同一種情況)根據以上4種不同的放法,你能得出什么結論?(總有一個至少放進2支鉛筆)數的分解法證明。可以把4分解成三個數,共有四種情況:(4,0,0),(3,1,0),(2,2,0),(2,1,1),每一種結果的三個數中,至少有一個數是不小于2的。反證法(或假設法)證明。讓學生試著說一說,教師適時指點:假設先在每個筆筒里放1支鉛筆。那么,3個筆筒里就放了3支鉛筆。還剩下1支鉛筆,放進任意一個筆筒里,那么這個筆筒里就有2支鉛筆。(4)揭示規律。請同學們繼續思考:把5支鉛筆放進4個筆筒中,那么總有一個筆筒里至少放進幾支鉛筆,為什么?如果把6支鉛筆放進5個筆筒中,結果是否一樣呢?把7支鉛筆放進6個筆筒中呢?把10支鉛筆放進9個筆筒中呢?把100支鉛筆放進99個筆筒中呢?學生回答的同時教師板書:數量(支)筆筒數(個) 結果5 總有一個筆筒里提問:觀察板書,你有什么發現? 小組討論,引導學生得出一般性結論。(只要放的鉛筆數比筆筒的數量多1,總有一個筆筒里至少放進2支鉛筆)追問:如果要放的鉛筆數比筆筒的數量多2,多3,多4呢?學生根據具體情況思考并解決此類問題。教師小結。上面我們所證明的數學原理就是最簡單的“抽屜原理”,可以概括為:把m個物體任意放到m-1個抽屜里,那么總有一個抽屜中至少放進了2個物體。2.教學例2。師:把7本書放進3個抽屜,不管怎么放,總有一個抽屜里至少放進3本書。為什么?自己想一想,再跟小組的同學交流。學生獨立思考后,進行小組交流;教師巡視了解情況。組織全班交流,學生可能會說:我們可以動手操作,選用列舉的方法:第一個抽屜765433第二個抽屜011112第三個抽屜001232通過操作,我們把7本書放進3個抽屜,總有一個抽屜至少放進3本書。我們可以用數的分解法:把7分解成三個數,有(7,0,0),(6,1,0),(5,1,1),(4,1,2),(3,1,3),(3,2,2)這樣六種情況。在任何一種情況中,總有一個數不小于3。師:同學們,通過上面兩種方法,我們知道了把7本書放進3個抽屜,不管怎么放,總有1個抽屜里至少放進3本書。但隨著書的本書增多,數據變大,如果有8本書會怎樣呢?10本呢?甚至更多呢?用列舉法、數的分解法會怎樣?(繁瑣)我們能不能找到一種適用各種數據的一般方法呢?請同學們自己想一想。學生進行獨立思考。師:假設把書盡量的“平均分”給各個抽屜,看每個抽屜能分到多少本書,你們能用什么算式表示這一平均分的過程呢?生:73=21師:有余數的除法算式說明了什么問題?生:把7本書平均放進3個抽屜,每個抽屜放2本書,還剩1本;把剩下的1本不管放到哪個抽屜,總有一個抽屜至少放3本書。師:如果有8本書會怎樣呢?生:83=22,可以知道把8本書平均放進3個抽屜,每個抽屜放2本書,還剩2本;把剩下的2本中的1本不管放到哪個抽屜,總有一個抽屜至少放3本書。師:10本書呢?生:103=31,可知把10本書平均放進3個抽屜,每個抽屜放3本書,還剩1本;把剩下的1本不管放到哪個抽屜,總有一個抽屜至少放4本書。師:你發現了什么?師生共同小結:要把a個物體放進n個抽屜,如果an=bc(c0),那么一定有一個抽屜至少放(b+1)個物體。【設計意圖:在滲透研究問題、探索規律時,先從簡單的情況開始研究。證明過程中,展示了不同學生的證明方法和思維水平,使學生既互相學習、觸類旁通,又建立“建模”思想,突出了學習方法】師:通過今天的學習,你有什么收獲?生:物體數除以抽屜數,那么總會有一個抽屜里放進比商多1的物體個數。師:你能在生活中找出這樣的例子嗎?學生舉例說明。師:之所以把這個規律稱之為“原理”,是因為在我們的生活中存在著許多能用這個原理解決的問題,研究出這個規律是非常有價值的。同學們繼續努力吧!【設計意圖:研究的問題來源于生活,還要還原到生活中去。在教學的最后,請學生總結這節課學會的規律,再讓學生舉一些能用“鴿巢問題”解釋的生活現象,以達到鞏固應用的目的】鴿巢問題A類1.1001只鴿子飛進50個鴿舍,無論怎么飛,我們一定能找到一個鴿子最多的鴿舍,它里面至少有()只鴿子。2.從8個抽屜中拿出17個蘋果,無論怎么拿,我們一定能找到一個拿出蘋果最多的抽屜,從它里面至少拿出了()個蘋果。3.從()(填最大數)個抽屜中拿出25個蘋果,才能保證一定能找到一個抽屜,從它當中至少拿了7個蘋果。(考查知識點:鴿巢問題;能力要求:靈活運用所學知識解決簡單的具體問題)B類你能證明在任意的37人中,至少有4人的屬相相同嗎?說明理由。(考查知識點:鴿巢問題;能力要求:靈活運用所學知識解決生活中的實際問題)課堂作業新設計A類:1. 212. 33. 4B類:把12個屬相看作12個抽屜。3712=313+1=4即在任意的37人中,至少有4人屬相相同。教材習題第68頁“做一做”1. 我們可以假設3只鴿子分別飛進了三個鴿籠,那么剩余的2只鴿子無論飛進哪個鴿籠,都會出現“總有一個鴿籠至少飛進了2只鴿子”這個結果。2. 因為5人抽4種花色的撲克牌,假設其中的4人每人分別抽到其中一種花色,那么剩下的1個人無論抽到什么花色,就出現“至少有2張牌是同花色”這個結果。第69頁“做一做”1. 114=2(只)3(只),可知如果每個鴿籠飛進2只鴿子,剩下的3只鴿子飛進其中任意3個鴿籠,那么至少有3只鴿子飛進了一個鴿籠。2. 54=1(人)1(人),可知如果每把椅子上坐1人,剩下的1人再生其中任意的1把椅子上,那么至少有1把椅子上坐了2人