第三單元 長(zhǎng)方體和正方體【例1】將一個(gè)正方體鋼坯鍛造成長(zhǎng)方體，它們的（）。A體積相等，表面積不相等 B體積不相等，表面積相等C體積和表面積都相等 D表面積相等，體積不相等解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)學(xué)的“等積變形”思想。解答時(shí)要抓住將正方體鋼坯鍛造成長(zhǎng)方體形狀這一基本條件，鍛造就是說(shuō)形狀要改變，所以表面積一定會(huì)發(fā)生變化，但是體積是不會(huì)變化的，因?yàn)殇撆魉伎臻g的大小不變，所以選A。解答：A 【例2】小華說(shuō)：“棱長(zhǎng)6厘米的正方體，體積和表面積相等。”小紅說(shuō)：“表面積相等的兩個(gè)正方體，體積也一定相等。”他們說(shuō)的（）。A小紅對(duì) B小華對(duì) C都對(duì) D都不對(duì)解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)有：不是同類(lèi)量能否進(jìn)行比較以及正方體的特征。解答時(shí)，根據(jù)表面積、體積的意義：正方體的表面積是指6個(gè)面的總面積，正方體的體積是指題所占空間的大小，表面積和體積不是同類(lèi)量所以不能進(jìn)行比較。正方體的表面積=棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)6，正方體的體積=棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)棱長(zhǎng)，因?yàn)閮蓚€(gè)正方體的表面積相等，則每個(gè)面的面積相等，也就可以判定棱長(zhǎng)相等，所以體積也相等。綜合上述分析得出：小華的說(shuō)法是錯(cuò)誤的，小紅的說(shuō)法是正確的。解答： A。【例3】一個(gè)棱長(zhǎng)為10厘米的正方體容器里裝有5厘米高的水，現(xiàn)在將一塊不規(guī)則的石塊全部浸沒(méi)水中，測(cè)得水面上升了2厘米，這塊石塊的體積是（）。A 100 cm B 500 cm C200 cm D300cm解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用“等積變形思想”求不規(guī)則物體的體積。根據(jù)物體完全浸沒(méi)在水中，上升了的水的體積就是物體的體積，然后利用長(zhǎng)方體的體積公式計(jì)算公式：v=abh，把數(shù)據(jù)代入公式v =10102=1002=200（立方厘米）所以選C。解答： C【例4】“淘寶之父”馬云新出了兩本大小相同的書(shū)，長(zhǎng)20厘米、寬12厘米、厚3厘米，如果將這兩本書(shū)包裝在一起，怎樣包裝最省紙？請(qǐng)畫(huà)出示意圖，并算出包裝紙的面積。（接頭處不計(jì)）解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用“分類(lèi)討論思想”解答長(zhǎng)方體的拼組包裝問(wèn)題。解答此題的關(guān)鍵是要明白：把長(zhǎng)方體的兩個(gè)最大面重合時(shí)，拼成的長(zhǎng)方體最省包裝紙。已知長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為20厘米、寬為12厘米、厚3厘米，所以這把這兩個(gè)長(zhǎng)方體書(shū)的2012的面相重合，得到的大長(zhǎng)方體的表面積最小，比原來(lái)兩個(gè)長(zhǎng)方體書(shū)的表面積減少了2個(gè)最大的面，這樣最節(jié)約包裝紙，組成的長(zhǎng)方體長(zhǎng)20厘米，寬12厘米，高6厘米，然后再根據(jù)表面積的計(jì)算方法來(lái)解答。解答：如圖所示：（2012+206+126）2=4322=864（平方厘米）答：包裝紙的面積是864平方厘米。【例5】把一個(gè)長(zhǎng)方體切成兩個(gè)小長(zhǎng)方體，（）切法增加的表面積最大。解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用比較法解答切割長(zhǎng)方體時(shí)增加的表面積最大問(wèn)題。解答時(shí)，可以先分別計(jì)算出每種切法增加的表面積是多少，然后再比較確定。根據(jù)長(zhǎng)方體的切割方法，可知把長(zhǎng)方體切割成兩個(gè)小長(zhǎng)方體，則表面積就增加了兩個(gè)切割面的面積，所以要使表面積增加的最多，則平行于最大面進(jìn)行切割，則表面積就會(huì)增加兩個(gè)最大的面的面積。圖A增加的面積為：322=12（平方厘米）、圖B增加的面積為：432=24（平方厘米）、圖C增加的面積為：422=16（平方厘米），241612，所以圖B種切法，增加的表面積最大。解答：B【例6】一個(gè)長(zhǎng)方體，如果高增加3厘米，就成為一個(gè)正方體。這時(shí)表面積比原來(lái)增加了96平方厘米。原來(lái)的長(zhǎng)方體的體積是多少立方厘米？解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是根據(jù)長(zhǎng)方體和正方體的關(guān)系來(lái)計(jì)算長(zhǎng)方體的體積。一個(gè)長(zhǎng)方體如果高增加3厘米，就變成了一個(gè)正方體，說(shuō)明長(zhǎng)和寬相等且比高大3厘米，因此增加的96平方厘米是4個(gè)同樣的長(zhǎng)方形的面積和（如下圖），這樣得出長(zhǎng)方體的底面周長(zhǎng)是963=32（厘米），底面邊長(zhǎng)是324=8（厘米），長(zhǎng)方體的高是8-3=5（厘米），最后再根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式解答。要點(diǎn)提示：增加的96平方厘米是一個(gè)長(zhǎng)是32厘米，寬是3厘米的長(zhǎng)方形。解答：底面周長(zhǎng)：963=32（厘米）底面邊長(zhǎng)：324=8（厘米）高：8-3=5（厘米）體積：885=320（立方厘米）答：原來(lái)這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是320立方厘米。【例7】一個(gè)長(zhǎng)方體玻璃缸，從里面量長(zhǎng)40厘米，寬25厘米，缸內(nèi)水深12厘米。把一塊石頭浸入水中后，水面升到16厘米，求石塊的體積。解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是不規(guī)則物體體積的計(jì)算，考查方法是用排水法和等積變形思想計(jì)算不規(guī)則物體的體積。要點(diǎn)提示：等積變形就是指物體的形狀發(fā)生變化，體積不變。把一塊石頭浸入水中后，水面升到16厘米，水面上升的高度是16厘米-12厘米=4厘米，因?yàn)槭^的體積等于玻璃缸內(nèi)高為4厘米的水的體積，然后根據(jù)長(zhǎng)方體體積計(jì)算公式計(jì)算出上升的水的體積，也就是石塊的體積。解答：4025（16-12）=10004=4000（立方厘米）答：石塊的體積是4000立方厘米。【例8】一根鐵絲能?chē)梢粋€(gè)棱長(zhǎng)是10厘米的正方體框架，如果用這根鐵絲再?lài)梢粋€(gè)長(zhǎng)方體框架，長(zhǎng)是10厘米，寬是9厘米，高是（ ）厘米。解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用抓“不變量的方法”來(lái)計(jì)算長(zhǎng)方體的高。解答時(shí)要抓住“用這根鐵絲再?lài)梢粋€(gè)長(zhǎng)方體框架”也就是說(shuō)圍成的長(zhǎng)方體和正方體的棱長(zhǎng)和是不變的。因此可以先根據(jù)正方體的棱長(zhǎng)是10厘米，求出正方體的棱長(zhǎng)和，也就是長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)和，然后再根據(jù)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是10厘米，寬是9厘米，求出長(zhǎng)方體的高。解答：10124-10-9=11（厘米）【例9】一個(gè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高都擴(kuò)大2倍，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積擴(kuò)大多少倍？解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用設(shè)數(shù)法來(lái)解答長(zhǎng)方體的體積變化問(wèn)題。解答時(shí)，可以先設(shè)出長(zhǎng)方體的長(zhǎng)是3厘米、寬是2厘米、高是1厘米，如果長(zhǎng)、寬和高都擴(kuò)大2倍，則分別為6厘米、4厘米和2厘米，這樣原來(lái)長(zhǎng)方體的體積是321=6（立方厘米）擴(kuò)大以后的體積是642=48（立方厘米），所以長(zhǎng)方體的體積擴(kuò)大了486=8倍。解答：8【例10】一個(gè)長(zhǎng)方體，底面是一個(gè)周長(zhǎng)為12分米的正方形，側(cè)面展開(kāi)后是一個(gè)正方形，這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是（）立方分米 。A 144 B108 C 36 D 216解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用圖示法計(jì)算長(zhǎng)方體的體積。已知長(zhǎng)方體底面是一個(gè)周長(zhǎng)為12分米的正方形，側(cè)面展開(kāi)后是一個(gè)正方形，這說(shuō)明長(zhǎng)方體的高與底面周長(zhǎng)相等，（如下圖）也是12分米；這樣先求出底面邊長(zhǎng)，再根據(jù)體積公式v=sh，代入數(shù)據(jù)計(jì)算出長(zhǎng)方體的體積：124=3（分米） 3312=912=108（立方分米）解答：B【例11】和諧村用24m的沙子鋪一條寬4m的甬路，沙子鋪12cm厚，這條甬路的長(zhǎng)是多少？解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用數(shù)學(xué)的“等積變形”數(shù)學(xué)思想解答甬路的長(zhǎng)問(wèn)題。解答時(shí)首先要抓住不變量：24 m的沙子的體積是不變的，改變的是這24 m沙子的形狀。(如下圖)問(wèn)題中，單位不統(tǒng)一，先統(tǒng)一單位，把12cm化成0.12m，接著求出沙子鋪成甬路后的側(cè)面積（如上圖），列式為40.12，最后用沙子的體積除以甬路的側(cè)面積就是甬路的長(zhǎng)，列式為24（40.12）。解答：12cm=0.12m 24（40.12）=50（m）答：這條甬路的長(zhǎng)是50米。【例12】用36cm長(zhǎng)的鐵絲做長(zhǎng)方體或正方體框架（不考慮接頭，要正好用完，棱的長(zhǎng)度都取整厘米）。請(qǐng)你寫(xiě)出幾種不同的做法，并分別求出它們的體積。把各個(gè)長(zhǎng)方體的體積與正方體比較，你有什么發(fā)現(xiàn)？由此你得出什么猜想？和同學(xué)交流你的想法。解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用數(shù)學(xué)的“分類(lèi)討論思想”、歸納、猜想思維解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。解答時(shí)，先根據(jù)長(zhǎng)方體的棱長(zhǎng)總和=（長(zhǎng)+寬+高）4，用棱長(zhǎng)總和除以4求出長(zhǎng)、寬、高的和，進(jìn)而確定出、寬、高，接著根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式：v=abh，求出長(zhǎng)方體的體積。因?yàn)檎襟w的12條棱的長(zhǎng)度都相等，用36除以12求出正方體的棱長(zhǎng)，根據(jù)正方體的體積公式：v=a，求出正方體的體積，然后進(jìn)行比較即可。解答：長(zhǎng)、寬、高的和：364=9（厘米）長(zhǎng)7厘米、寬1厘米、高1厘米，體積是711=7（立方厘米）長(zhǎng)6厘米、寬2厘米、高1厘米，體積是621=12（立方厘米）長(zhǎng)5厘米、寬2厘米、高2厘米，體積是522=20（立方厘米）長(zhǎng)5厘米、寬3厘米、高1厘米，體積是531=15（立方厘米）正方體的棱長(zhǎng)：3612=3（厘米）正方體的體積：333=27（立方厘米）727 1227 2027 1527當(dāng)長(zhǎng)方體和正方體的棱長(zhǎng)總和相等時(shí)，正方體的體積大于長(zhǎng)方體的體積。【例13】?jī)蓚€(gè)正方體，拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，在拼成的過(guò)程中它們的表面積減少了72平方厘米，求這個(gè)長(zhǎng)方體的體積。解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是正方體的體積的計(jì)算，解答時(shí)可以利用圖示法畫(huà)出示意圖來(lái)分析幫助解答。把兩個(gè)正方體，拼成一個(gè)長(zhǎng)方體，有兩個(gè)面重合在一起，表面積減少的72平方厘米，就是正方體的兩個(gè)面的面積(如下圖)，由此可以一個(gè)面的面積，再根據(jù)正方形的面積公式：s=a，即可求出邊長(zhǎng)（也就是正方體的棱長(zhǎng)），最后根據(jù)正方體的體積公式：v=a求出一個(gè)正方體的體積再乘2。解答：正方體每個(gè)面的面積：722=36（平方厘米）因?yàn)?的平方是36，所以正方體的棱長(zhǎng)是6厘米6662=2162=432（立方厘米）答：這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是432立方厘米。【例14】在括號(hào)里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。（1）4.5立方米=（ ）立方米（ ）立方分米 （2） 250毫升=（ ）升（3）650立方分米=（ ）立方米 （4） 2.4升=（ ）毫升 解析：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是單位的化聚，解答時(shí)要利用數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化法來(lái)進(jìn)行分析和解答。（1）4.5立方米是復(fù)名數(shù)，含有兩個(gè)不同類(lèi)計(jì)量單位。整數(shù)部分的4立方米是不需進(jìn)行轉(zhuǎn)化的，直接寫(xiě)在立方米前面的括號(hào)里，只需要把0.5立方米轉(zhuǎn)化為立方分米即可，0.5立方米=500立方分米。 （2） 250毫升=？升，這是低級(jí)單位數(shù)化高級(jí)單位數(shù)，轉(zhuǎn)化時(shí)，用250直接除以進(jìn)率1000，也就是把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)三位。（3）650立方分米=？立方米， 這是低級(jí)單位數(shù)化高級(jí)單位數(shù)，轉(zhuǎn)化時(shí)，用650直接除以進(jìn)率1000，也就是把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)三位。 （4）2.4升=？毫升，這是高級(jí)單位數(shù)轉(zhuǎn)化為低級(jí)單位數(shù)，轉(zhuǎn)化時(shí)，用2.4直接乘進(jìn)率1000，也就是把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位。解答：4.5立方米=（4 ）立方米（500 ）立方分米 250毫升=（0.25）升650立方分米=（ 0.65）立方米 2.4升=（2400）毫升