第三單元 長方體和正方體【例1】將一個正方體鋼坯鍛造成長方體，它們的（）。A體積相等，表面積不相等 B體積不相等，表面積相等C體積和表面積都相等 D表面積相等，體積不相等解析：本題考查的知識點是數學的“等積變形”思想。解答時要抓住將正方體鋼坯鍛造成長方體形狀這一基本條件，鍛造就是說形狀要改變，所以表面積一定會發生變化，但是體積是不會變化的，因為鋼坯所占空間的大小不變，所以選A。解答：A 【例2】小華說：“棱長6厘米的正方體，體積和表面積相等。”小紅說：“表面積相等的兩個正方體，體積也一定相等。”他們說的（）。A小紅對 B小華對 C都對 D都不對解析：本題考查的知識點有：不是同類量能否進行比較以及正方體的特征。解答時，根據表面積、體積的意義：正方體的表面積是指6個面的總面積，正方體的體積是指題所占空間的大小，表面積和體積不是同類量所以不能進行比較。正方體的表面積=棱長棱長6，正方體的體積=棱長棱長棱長，因為兩個正方體的表面積相等，則每個面的面積相等，也就可以判定棱長相等，所以體積也相等。綜合上述分析得出：小華的說法是錯誤的，小紅的說法是正確的。解答： A。【例3】一個棱長為10厘米的正方體容器里裝有5厘米高的水，現在將一塊不規則的石塊全部浸沒水中，測得水面上升了2厘米，這塊石塊的體積是（）。A 100 cm B 500 cm C200 cm D300cm解析：本題考查的知識點是利用“等積變形思想”求不規則物體的體積。根據物體完全浸沒在水中，上升了的水的體積就是物體的體積，然后利用長方體的體積公式計算公式：v=abh，把數據代入公式v =10102=1002=200（立方厘米）所以選C。解答： C【例4】“淘寶之父”馬云新出了兩本大小相同的書，長20厘米、寬12厘米、厚3厘米，如果將這兩本書包裝在一起，怎樣包裝最省紙？請畫出示意圖，并算出包裝紙的面積。（接頭處不計）解析：本題考查的知識點是用“分類討論思想”解答長方體的拼組包裝問題。解答此題的關鍵是要明白：把長方體的兩個最大面重合時，拼成的長方體最省包裝紙。已知長方體的長為20厘米、寬為12厘米、厚3厘米，所以這把這兩個長方體書的2012的面相重合，得到的大長方體的表面積最小，比原來兩個長方體書的表面積減少了2個最大的面，這樣最節約包裝紙，組成的長方體長20厘米，寬12厘米，高6厘米，然后再根據表面積的計算方法來解答。解答：如圖所示：（2012+206+126）2=4322=864（平方厘米）答：包裝紙的面積是864平方厘米。【例5】把一個長方體切成兩個小長方體，（）切法增加的表面積最大。解析：本題考查的知識點是利用比較法解答切割長方體時增加的表面積最大問題。解答時，可以先分別計算出每種切法增加的表面積是多少，然后再比較確定。根據長方體的切割方法，可知把長方體切割成兩個小長方體，則表面積就增加了兩個切割面的面積，所以要使表面積增加的最多，則平行于最大面進行切割，則表面積就會增加兩個最大的面的面積。圖A增加的面積為：322=12（平方厘米）、圖B增加的面積為：432=24（平方厘米）、圖C增加的面積為：422=16（平方厘米），241612，所以圖B種切法，增加的表面積最大。解答：B【例6】一個長方體，如果高增加3厘米，就成為一個正方體。這時表面積比原來增加了96平方厘米。原來的長方體的體積是多少立方厘米？解析：本題考查的知識點是根據長方體和正方體的關系來計算長方體的體積。一個長方體如果高增加3厘米，就變成了一個正方體，說明長和寬相等且比高大3厘米，因此增加的96平方厘米是4個同樣的長方形的面積和（如下圖），這樣得出長方體的底面周長是963=32（厘米），底面邊長是324=8（厘米），長方體的高是8-3=5（厘米），最后再根據長方體的體積公式解答。要點提示：增加的96平方厘米是一個長是32厘米，寬是3厘米的長方形。解答：底面周長：963=32（厘米）底面邊長：324=8（厘米）高：8-3=5（厘米）體積：885=320（立方厘米）答：原來這個長方體的體積是320立方厘米。【例7】一個長方體玻璃缸，從里面量長40厘米，寬25厘米，缸內水深12厘米。把一塊石頭浸入水中后，水面升到16厘米，求石塊的體積。解析：本題考查的知識點是不規則物體體積的計算，考查方法是用排水法和等積變形思想計算不規則物體的體積。要點提示：等積變形就是指物體的形狀發生變化，體積不變。把一塊石頭浸入水中后，水面升到16厘米，水面上升的高度是16厘米-12厘米=4厘米，因為石頭的體積等于玻璃缸內高為4厘米的水的體積，然后根據長方體體積計算公式計算出上升的水的體積，也就是石塊的體積。解答：4025（16-12）=10004=4000（立方厘米）答：石塊的體積是4000立方厘米。【例8】一根鐵絲能圍成一個棱長是10厘米的正方體框架，如果用這根鐵絲再圍成一個長方體框架，長是10厘米，寬是9厘米，高是（ ）厘米。解析：本題考查的知識點是利用抓“不變量的方法”來計算長方體的高。解答時要抓住“用這根鐵絲再圍成一個長方體框架”也就是說圍成的長方體和正方體的棱長和是不變的。因此可以先根據正方體的棱長是10厘米，求出正方體的棱長和，也就是長方體的棱長和，然后再根據長方體的長是10厘米，寬是9厘米，求出長方體的高。解答：10124-10-9=11（厘米）【例9】一個長方體的長、寬、高都擴大2倍，這個長方體的體積擴大多少倍？解析：本題考查的知識點是用設數法來解答長方體的體積變化問題。解答時，可以先設出長方體的長是3厘米、寬是2厘米、高是1厘米，如果長、寬和高都擴大2倍，則分別為6厘米、4厘米和2厘米，這樣原來長方體的體積是321=6（立方厘米）擴大以后的體積是642=48（立方厘米），所以長方體的體積擴大了486=8倍。解答：8【例10】一個長方體，底面是一個周長為12分米的正方形，側面展開后是一個正方形，這個長方體的體積是（）立方分米 。A 144 B108 C 36 D 216解析：本題考查的知識點是用圖示法計算長方體的體積。已知長方體底面是一個周長為12分米的正方形，側面展開后是一個正方形，這說明長方體的高與底面周長相等，（如下圖）也是12分米；這樣先求出底面邊長，再根據體積公式v=sh，代入數據計算出長方體的體積：124=3（分米） 3312=912=108（立方分米）解答：B【例11】和諧村用24m的沙子鋪一條寬4m的甬路，沙子鋪12cm厚，這條甬路的長是多少？解析：本題考查的知識點是利用數學的“等積變形”數學思想解答甬路的長問題。解答時首先要抓住不變量：24 m的沙子的體積是不變的，改變的是這24 m沙子的形狀。(如下圖)問題中，單位不統一，先統一單位，把12cm化成0.12m，接著求出沙子鋪成甬路后的側面積（如上圖），列式為40.12，最后用沙子的體積除以甬路的側面積就是甬路的長，列式為24（40.12）。解答：12cm=0.12m 24（40.12）=50（m）答：這條甬路的長是50米。【例12】用36cm長的鐵絲做長方體或正方體框架（不考慮接頭，要正好用完，棱的長度都取整厘米）。請你寫出幾種不同的做法，并分別求出它們的體積。把各個長方體的體積與正方體比較，你有什么發現？由此你得出什么猜想？和同學交流你的想法。解析：本題考查的知識點是利用數學的“分類討論思想”、歸納、猜想思維解決數學問題。解答時，先根據長方體的棱長總和=（長+寬+高）4，用棱長總和除以4求出長、寬、高的和，進而確定出、寬、高，接著根據長方體的體積公式：v=abh，求出長方體的體積。因為正方體的12條棱的長度都相等，用36除以12求出正方體的棱長，根據正方體的體積公式：v=a，求出正方體的體積，然后進行比較即可。解答：長、寬、高的和：364=9（厘米）長7厘米、寬1厘米、高1厘米，體積是711=7（立方厘米）長6厘米、寬2厘米、高1厘米，體積是621=12（立方厘米）長5厘米、寬2厘米、高2厘米，體積是522=20（立方厘米）長5厘米、寬3厘米、高1厘米，體積是531=15（立方厘米）正方體的棱長：3612=3（厘米）正方體的體積：333=27（立方厘米）727 1227 2027 1527當長方體和正方體的棱長總和相等時，正方體的體積大于長方體的體積。【例13】兩個正方體，拼成一個長方體，在拼成的過程中它們的表面積減少了72平方厘米，求這個長方體的體積。解析：本題考查的知識點是正方體的體積的計算，解答時可以利用圖示法畫出示意圖來分析幫助解答。把兩個正方體，拼成一個長方體，有兩個面重合在一起，表面積減少的72平方厘米，就是正方體的兩個面的面積(如下圖)，由此可以一個面的面積，再根據正方形的面積公式：s=a，即可求出邊長（也就是正方體的棱長），最后根據正方體的體積公式：v=a求出一個正方體的體積再乘2。解答：正方體每個面的面積：722=36（平方厘米）因為6的平方是36，所以正方體的棱長是6厘米6662=2162=432（立方厘米）答：這個長方體的體積是432立方厘米。【例14】在括號里填上適當的數。（1）4.5立方米=（ ）立方米（ ）立方分米 （2） 250毫升=（ ）升（3）650立方分米=（ ）立方米 （4） 2.4升=（ ）毫升 解析：本題考查的知識點是單位的化聚，解答時要利用數學的轉化法來進行分析和解答。（1）4.5立方米是復名數，含有兩個不同類計量單位。整數部分的4立方米是不需進行轉化的，直接寫在立方米前面的括號里，只需要把0.5立方米轉化為立方分米即可，0.5立方米=500立方分米。 （2） 250毫升=？升，這是低級單位數化高級單位數，轉化時，用250直接除以進率1000，也就是把小數點向左移動三位。（3）650立方分米=？立方米， 這是低級單位數化高級單位數，轉化時，用650直接除以進率1000，也就是把小數點向左移動三位。 （4）2.4升=？毫升，這是高級單位數轉化為低級單位數，轉化時，用2.4直接乘進率1000，也就是把小數點向右移動三位。解答：4.5立方米=（4 ）立方米（500 ）立方分米 250毫升=（0.25）升650立方分米=（ 0.65）立方米 2.4升=（2400）毫升