第四單元 分數的意義和性質【例1】一根繩子第一次剪去，第二次剪去米，兩次減去的繩子相比（）A第一次長 B第二次長 C同樣長 D三種情況都有可能解析：本題考查的知識點是用分數表示數量和分率時的比較與區別。解答時，先將這根繩子當作單位“1”，第一次剪去，則還剩1-=，即無論第二次剪去多長，都不如第一次剪去的多。解答此題的關鍵是利用剪去的與剩下的占全部的分率進行比較即可，也就是說，第二次剪去的米數為多余條件。解答：A【例2】圖中陰影部分的面積占整個圖形面積的（）A B C D 解析：本題考查的知識點是利用數學的“數形結合思想”和“份數法”來解答分數問題。從圖中讀出把單位“1”平均分成了7份，前面的4份中取了2份，后面的陰影部分是把剩下的3個小長方形平分，即后面的陰影部分是1.5份，這樣陰影部分一共是3.5份，3.5份是7份的一半。所以選A。解答時，搞清楚把單位“1”（大長方形）平均分成幾份，取了幾份是關鍵。解答：A【例3】用分數表示陰影部分。解析：本題考查的知識點是利用數學結合思想和“拼組法”解答看圖寫分數問題。解答時，陰影部分不是標準的規則圖形，需要用“拼組法”把它轉化為規則三角形來解答，也就是說可以把圖中空白梯形換成涂色梯形，這樣可以得出陰影部分占整個長方形的一半；或者把空吧三角形換成陰影三角形，也可以得出同樣的結論。解答：【例4】化簡一個分數時，分子、分母同時除以2次3，分子、分母又同時除以一次4得，這個分數化簡前是多少？解析：本題考查的知識點是用“還原法”或“逆推法”來解答分數的約分問題。解答時，先從最簡分數開始思考，讓的分子和分母分別乘約分的1次4和2次3，就可以求出化簡前的分數。解答：=【例5】一個分數，分母比分子大15，它的分數值是，這個分數是多少？解析：本題考查的知識點是用“抓不變量”的方法，利用份數知識解答分數問題。解答時，先求出分子和分母的份數差8-3=5，然后用數量差15除以份數差15（8-3）=3就是一份量；接著用還原法或逆推法計算出原來分數的值：=解答：15（8-3）=3 =答：這個分數是。【例6】食品店運來一些面包，如果每2個裝一袋、每3個裝一袋、每5個裝一袋，都能正好裝完，這些面包至少有多少個?解析：本題考查的知識點是2、3、5的倍數的特征和求2、3、5的最小公倍數。解答時，可以直接求出2、3、5三個數的最小公倍數，這個最小公倍數就是面包的最少個數。解答：2、3、5的最小公倍數是30，所以這些面包至少有30個。【例7】a、b是相鄰的兩個偶數（a、b均不為0），a和b的最大公因數是（）。A ab B 2 C a+b D ab2解析：本題考查的知識點是用“簡單枚舉法”來歸納、概括兩個相鄰非0偶數的最大公因數。因為a、b是兩個相鄰的非零偶數，即兩數相差2，如：2和4，它們的最大公因數是2；4和6，它們的最大公因數是2；再如10和12的最大公因數還是2，所以a、b的最大公因數是2。【例8】求12和18的最大公因數和最小公倍數。解析：本題考查的知識點是求最大公因數和最小公倍數的方法。求最大公因數和最小公倍數的方法有列舉法、短除法、分解質因數法、篩選法等。一般情況下，兩個數較小時，用列舉法就可以很快求出最大公因數和最小公倍數；而兩個數較大時，用短除法比較簡單。用短除法求最大公因數時，只需把所有的除數相乘；而求最小公倍數時，需要把除數和商都相乘。當兩個數只有公因數1時，直接就可得出最大公因數和最小公倍數，最大公因數是1，最小公倍數是這兩個數的積；當兩個數成倍數關系時，最大公因數就是較小的數，最小公倍數就是較大的數。顯然12和18不屬于這兩種情況，可以用上面介紹的方法求出答案。解答：方法一篩選法。(1)12的因數有1，2，3，4，6，12。12的因數中是18的因數的有1，2，3，6。12和18的最大公因數是6。(2)18的倍數有18，36，54，72，18的倍數中是12的倍數的有36，72，12和18的最小公倍數是36。方法二列舉法。(1)12和18的最大公因數是6。(2)12和18的最小公倍數是36。方法三分解質因數法。12=223 18=23312和18的最大公因數：236；最小公倍數：232336。方法四短除法。6 12 182 3 12和18的最大公因數：6；最小公倍數：62336。【例9】大雪后的一天，佳美和爸爸從同一點出發沿同一方向分別步測一個圓形花圃的周長。佳美每步長約72厘米，爸爸每步長約90厘米，由于兩個人的腳印有重合，所以雪地上只留下80個腳印。請問：這個花圃的周長約多少米？解析：本題考查的知識點是利用“枚舉法”求兩個數的最小公倍數解決問題。解答時，先求出72和90的最小公倍數是360，也就是說他們倆每走360厘米就有一個腳印重合。因為：佳美走一步是72厘米，二步是144厘米，三步是216厘米，四步是288厘米，五步是360厘米。爸爸走一步是90厘米，二步是180厘米，三步是270厘米，四步是360厘米。他們兩每走360厘米就有8個腳印。解答：360（808）=3600（厘米）=36米答：這個花圃的周長是36米。【例10】分數的分子和分母同時加上一個數后，約分得，分子和分母同時加上的數是多少？解析：本題考查的知識點是利用抓不變量的方法解答分數的約分問題。分數的分子和分母同時加上一個相同的數，說明分子和分母的差不變，還是13-5=8；又由于新分數約分后是，則現在的分子和分母的差從8到1，可以知道分子和分母都縮小到了原來的，也就是將的分子和分母同時擴大到原來的8倍，分子和分母的差才是8，這樣，的分子和分母同時擴大到原來的8倍是，8-5=3,16-13=3，所以同時加上的數是3。解答：（13-5）（2-1）-5=3答：時加上的這個數是3。【例11】在下圖的方框中填上適當的數，直線的上面填假分數，直線的下面填帶分數。解析：本題考查的知識點是利用對應法和數形結合思想解答填寫直線上的數問題。解答時，明確線段圖中每一小格代表多少、單位“1”被平均分成了多少份，要填寫的方框中的數在哪兩個整數之間是解答此類問題的關鍵，最后根據上面的判斷再填寫出正確的結果。解答：【例12】把0.29、0.3、和按照從小到大的順序排列。解析：本題考查的知識點有利用數學的轉化思想把分數化成小數從而比較數的大小。解答時，先把分數化成小數，然后通過比較小數的大小，再比較出原來給出的數的大小。解答：0.29=0.29 0.3=0.3 0.2857、=0.25、0.33因為：0.250.28570.290.30.33所以，0.290.3【例13】填一填。（1）（2）解析：本題考查的知識點根據分數的基本性質，利用數學的轉化思想來解答分數變形問題。（1）根據分數的基本性質和分數與除法的關系來進行填空。填空時注意，抓住分數的值不變這一基本條件，變化的是分數的分子和分母。（2）先通分，把和化成和，這兩個分數之間寫不出分母是10的分數，接著根據分數的基本性質，把和轉化為分母是20的分數為和，這兩個分數之間只能寫出分母是20的一個分數是；要求寫出兩個，繼續根據分數的基本性質，轉化為分母是30的分數為和，這樣可以寫出兩個分母是30的分數，分別為 和解答：（1）4 36 9 16 96 3（2） 【例14】一個分數（a和b都是自然數），已知5a9, 1b3,這個分數可能是哪些分數？解析：本題考查的知識點有分類討論思想和組合法。解答時，先分情況看分母可能取哪些整數，再看分子肯能取哪些整數，最后再確定這個分數是多少。因為a和b都是自然數，且5a9，所以分母可能是6、7或8,分子只能是2，分數可能是、或。解答：這個分數可能是、或。【例15】一瓶水，亮亮喝了一半，媽媽喝了剩下的一半，他們喝的同樣多嗎？解析：本題考查的知識點是不同的單位“1”的。解答時為了區分和比較亮亮喝的一半和媽媽喝的一半的不同，可以采取圖示法來理解（如下圖）。解答：亮亮喝的多。【例16】比較和的大小解析：本題考查的知識點是異分母分數的大小比較，解答時可以用通分的方法比較分數的大小；還可以結合分數與的大小比較（找中間數比較的方法）、以及化成分子相同的數的方法來比較分數的大小。解答：方法提示：通分的方法方法一：因為，= =，所以。方法提示：找中間數的方法方法二：因為， 所以，方法提示：化成相同的分子的方法方法三：因為，= =，所以