4分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)一、了解分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生,理解分?jǐn)?shù)的意義,明確分?jǐn)?shù)與除法的聯(lián)系。1.實(shí)際生活中,在進(jìn)行測(cè)量、分物或計(jì)算時(shí),往往不能正好得到整數(shù)的結(jié)果,在這種情況下就產(chǎn)生了另一種數(shù)分?jǐn)?shù)。2.一個(gè)物體、一個(gè)計(jì)量單位或是一些物體等都可以看作一個(gè)整體,這個(gè)整體可以用自然數(shù)1表示,通常把它叫做單位“1”。3.把單位“1”平均分成若干份,這樣的一份或幾份都可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。4.把單位“1”平均分成若干份,表示其中一份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)單位。一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母是幾,它的分?jǐn)?shù)單位就是幾分之一,分子是幾,它就有幾個(gè)這樣的分?jǐn)?shù)單位。5.兩個(gè)數(shù)相除,商可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示,即被除數(shù)除數(shù)=被除數(shù)除數(shù),用字母表示為ab=ab(b0)。反之,分?jǐn)?shù)也可以看作兩個(gè)數(shù)相除,分?jǐn)?shù)的分子相當(dāng)于被除數(shù),分母相當(dāng)于除數(shù),分?jǐn)?shù)線相當(dāng)于除號(hào)。6.求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)(0除外)的幾分之幾的問(wèn)題的解題方法:一個(gè)數(shù)另一個(gè)數(shù)=一個(gè)數(shù)另一個(gè)數(shù),即比較量標(biāo)準(zhǔn)量=比較量標(biāo)準(zhǔn)量,商表示的是兩個(gè)數(shù)的倍比關(guān)系(也可以稱部分與整體的關(guān)系),沒(méi)有單位名稱。7.分?jǐn)?shù)不但可以表示部分與整體的關(guān)系,還可以表示具體的數(shù)量。當(dāng)分?jǐn)?shù)表示具體的數(shù)量時(shí),可以加單位名稱。二、認(rèn)識(shí)真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)和帶分?jǐn)?shù),能把假分?jǐn)?shù)化成帶分?jǐn)?shù)或整數(shù)。1.分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù),真分?jǐn)?shù)小于1。2.分子比分母大或分子等于分母的分?jǐn)?shù)叫做假分?jǐn)?shù),假分?jǐn)?shù)大于1或等于1。3.由整數(shù)(0除外)和真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)叫做帶分?jǐn)?shù),帶分?jǐn)?shù)大于1。4.帶分?jǐn)?shù)的讀法:先讀帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分,再讀分?jǐn)?shù)部分,分?jǐn)?shù)部分和整數(shù)部分中間加一個(gè)“又”字。5.帶分?jǐn)?shù)的寫(xiě)法:“又”前面是整數(shù)部分,后面是分?jǐn)?shù)部分,先寫(xiě)整數(shù)部分,再寫(xiě)分?jǐn)?shù)部分。6.假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)的方法:根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系,把假分?jǐn)?shù)化成整數(shù)或帶分?jǐn)?shù)的方法是用分子除以分母。當(dāng)分子是分母的整數(shù)倍時(shí),能化成整數(shù),商就是這個(gè)整數(shù);當(dāng)分子不是分母的整數(shù)倍時(shí),能化成帶分?jǐn)?shù),商是帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分,余數(shù)是分?jǐn)?shù)部分的分子,分母不變。三、理解并掌握分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),會(huì)比較分?jǐn)?shù)的大小。1.分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘或者除以相同的數(shù)(0除外),分?jǐn)?shù)的大小不變,這叫做分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。2.根據(jù)分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì),可以把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成分母不同而大小不變的分?jǐn)?shù),也可以把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成指定分母的分?jǐn)?shù)。四、理解公因數(shù)與最大公因數(shù)、公倍數(shù)與最小公倍數(shù)的意義,能找出兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)和最小公倍數(shù),能比較熟練地進(jìn)行通分。1.幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù),叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù),其中最大的公因數(shù),叫做它們的最大公因數(shù)。2.求兩個(gè)數(shù)最大公因數(shù)的方法:(1)列舉法:先分別找出兩個(gè)數(shù)的因數(shù),從中找出公因數(shù),再找出公因數(shù)中最大的那個(gè);(2)篩選法:先找出兩個(gè)數(shù)中較小數(shù)的因數(shù),從中圈出另一個(gè)數(shù)的因數(shù),再看哪一個(gè)最大;(3)分解質(zhì)因數(shù)法:先把每個(gè)數(shù)都寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)因數(shù)相乘的形式,再?gòu)倪@些質(zhì)因數(shù)中找出這兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù),這些公有的質(zhì)因數(shù)的乘積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù);(4)短除法:先把這兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)按從小到大的順序依次作除數(shù),連續(xù)去除這兩個(gè)數(shù),直到得出的兩個(gè)商只有公因數(shù)1為止,再把所有的除數(shù)相乘,所得的積就是這兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。以求12和18的最大公因數(shù)為例:12和18的最大公因數(shù)是23=6。3.求兩個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)的特殊情況:(1)當(dāng)兩個(gè)數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時(shí),較小數(shù)就是它們的最大公因數(shù);(2)當(dāng)兩個(gè)數(shù)的公因數(shù)只有1時(shí),它們的最大公因數(shù)就是1。4.把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成和它相等,但分子和分母都比較小的分?jǐn)?shù),叫做約分。約分依據(jù)的是分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。5.分子和分母只有公因數(shù)1的分?jǐn)?shù)是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。約分時(shí),通常要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。6.幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù),其中最小的一個(gè),叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。7.求兩個(gè)數(shù)最小公倍數(shù)的方法:(1)列舉法:先分別找出兩個(gè)數(shù)的倍數(shù),從中找出公倍數(shù),再找出最小的那個(gè);(2)篩選法:先找出兩個(gè)數(shù)中較大數(shù)的倍數(shù),從中圈出另一個(gè)數(shù)的倍數(shù),再看哪一個(gè)最小;(3)分解質(zhì)因數(shù)法:把每個(gè)數(shù)都寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)因數(shù)相乘的形式,其中相同的質(zhì)因數(shù)與各自獨(dú)有質(zhì)因數(shù)的乘積就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù);(4)短除法:先把這兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)按從小到大的順序依次作除數(shù),連續(xù)去除這兩個(gè)數(shù),直到得出的兩個(gè)商只有公因數(shù)1為止,再把所有的除數(shù)和最后所得的商連乘,所得的積就是它們的最小公倍數(shù)。以求12和18的最小公倍數(shù)為例:12和18的最小公倍數(shù)是2323=36。8.同分母分?jǐn)?shù)、同分子分?jǐn)?shù)的大小比較方法:(1)分母相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù),分子大的分?jǐn)?shù)比較大;(2)分子相同的兩個(gè)分?jǐn)?shù),分母小的分?jǐn)?shù)反而大。9.通分的意義及通分的方法:(1)通分的意義:把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來(lái)分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù),叫做通分。(2)通分的方法:通分時(shí)用原分母的公倍數(shù)作公分母,為了計(jì)算簡(jiǎn)便,通常選用它們的最小公倍數(shù)作公分母,然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個(gè)最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。10.分?jǐn)?shù)的大小比較:比較異分母分?jǐn)?shù)的大小:先通分化成分母相同的分?jǐn)?shù),再比較大小。五、掌握分?jǐn)?shù)與小數(shù)的互化方法。1.小數(shù)就是表示十分之幾,百分之幾,千分之幾的數(shù),所以可以先直接寫(xiě)成分母是10,100,1000的分?jǐn)?shù),再化簡(jiǎn)。2.小數(shù)化分?jǐn)?shù)的規(guī)律:一位小數(shù)化分?jǐn)?shù),用10作分母,一位小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子;兩位小數(shù)化分?jǐn)?shù),用100作分母,兩位小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子把小數(shù)化成分?jǐn)?shù),能約分的都應(yīng)約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。3.分?jǐn)?shù)化成小數(shù)的方法:(1)分母是10,100,1000的分?jǐn)?shù)化成小數(shù),可以直接去掉分母,看分母中有幾個(gè)0,有幾個(gè)0就在分子中從右邊起向左數(shù)出幾位,點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn);(2)分母不是10,100,1000的分?jǐn)?shù)化成小數(shù),用分子除以分母,除不盡時(shí),要根據(jù)需要按“四舍五入”法保留幾位小數(shù)。(3)把帶分?jǐn)?shù)化成小數(shù),方法與上面相同,帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)部分作為小數(shù)的整數(shù)部分,分?jǐn)?shù)部分化成小數(shù),作為小數(shù)的小數(shù)部分。如125=1+0.4=1.4。溫馨提示:把誰(shuí)平均分,就應(yīng)該把誰(shuí)看作單位“1”。分成若干份是指分成除0以外的任意整數(shù)份,分時(shí)一定是平均分,只有平均分才可以用分?jǐn)?shù)來(lái)表示。分?jǐn)?shù)與除法之間的聯(lián)系非常緊密,但分?jǐn)?shù)不等同于除法,二者之間有一定的區(qū)別:除法是一種運(yùn)算,分?jǐn)?shù)是一種數(shù)。特別注意:因?yàn)槌ㄋ闶街械某龜?shù)不能為0,所以在分?jǐn)?shù)中分母也不能為0。溫馨提示:任何整數(shù)(0除外)都可以化成分母是1的假分?jǐn)?shù)。舉例:因?yàn)?34=31,所以134=314。溫馨提示:分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)與除法中商不變的規(guī)律類似,要注意不為0的條件。溫馨提示:在鋪地磚問(wèn)題中,要使地面鋪滿且使用的地磚是整塊時(shí),就是求長(zhǎng)和寬的公因數(shù),要求地磚的邊長(zhǎng)最大是多少,就是求長(zhǎng)和寬的最大公因數(shù)。特別注意:有些實(shí)際問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求幾個(gè)數(shù)的公因數(shù),如果題目是求“最長(zhǎng)”“最多”等問(wèn)題,就是求幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。溫馨提示:每個(gè)數(shù)的因數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的,因此兩個(gè)數(shù)或多個(gè)數(shù)的公因數(shù)的個(gè)數(shù)也是有限的。溫馨提示:約分的方法:(1)逐步約分法。用分?jǐn)?shù)的分子和分母的公因數(shù)(1除外)逐次去除分子和分母,直到得出一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。(2)一次約分法。用分?jǐn)?shù)的分子和分母的最大公因數(shù)去除分子和分母,即可得到最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。溫馨提示:公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。特別注意:一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的,因此兩個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)也是無(wú)限的,只有最小公倍數(shù),沒(méi)有最大公倍數(shù)。特別提醒:利用公倍數(shù)和最小公倍數(shù)可以解決生活中的很多問(wèn)題,如學(xué)生在排隊(duì)的時(shí)候,每排5人或6人都正好站完。求一共有多少人,就是求5和6的公倍數(shù);求最少有多少人,就是求5和6的最小公倍數(shù)。特別提醒:在比較異分母分?jǐn)?shù)的大小時(shí),如果分母較大,且分?jǐn)?shù)的分子較小,這時(shí)可以化成同分子分?jǐn)?shù)進(jìn)行比較。特別提醒:分母如果只含有2和5這兩個(gè)因數(shù),這樣的分?jǐn)?shù)可以化成有限小數(shù);分母如果含有2 和5以外的質(zhì)因數(shù),這樣的分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)